Die Klage über eine verfehlte Ausbildung der Ingenieure im Fach Mathematik ist alt. Geschichtlich gesehen war sie immer dann am lautesten, wenn eine Phase in der Entwicklung der Mathematik, die eine Vernachlässigung der Anwendungen mit sich brachte, sich in den Hörsälen der Technischen Hochschulen niederschlug (vgl. die diesbezüglichen Ausführungen in W.Lorey, "Das Studium der Mathematik an den deutschen Universitäten seit Anfang des 19. Jahrhunderts", Leipzig, Berlin 1916; hier: Kapitel VI). Die Spannung zwischen den Bedürfnissen des Ingenieurs nach der Lösung konkreter Einzelprobleme und dem Interesse des Mathematikers an der Erforschung allgemeiner Zusammenhänge wird nämlich in diesen Phasen am sichtbarsten.

Die vergangenen Jahrzehnte waren einerseits in der Mathematik durch eine starke Besinnung auf die strukturellen Gesichtspunkte und die gegenseitige Durchdringung bis dahin getrennter mathematischer Disziplinen auf einem abstrakten Niveau gekennzeichnet. Andeserseits sind durch das Aufkommen der Computertechnik und die Komplexität der in den Ingenieurwissenschaften zu analysierenden Systeme die Ansprüche an die analytischen und numerischen Methoden sprunghaft gewachsen. Diese an sich schon spannungsvolle Situation wurde durch die Expansion der Hochschulen seit Ende der sechziger Jahre noch verschärft. Die alten, fächerübergreifenden Fakultäten wurden durch kleinere Fachbereiche abgelöst,und Isolierung begann um sich zu greifen. Eine heute kaum mehr übersehbare Flut von Studienplänen und Prüfungsordnungen, oft ungenügend abgestimmt, überschwemmte die Hochschulen.

Der Mathematiker, mit der Mathematikausbildung der Ingenieurstudenten betraut, fühlte sich in der Rolle des Winkelried überfordert, und die lngenieurwissenschaftlichen Fachbereiche klagten über die Lustlosigkeit, mit der die "Dienstleistungsaufgaben" von den mathematischen Fachbereichen wahrgenommen wurden. Seit einiger Zeit sind allerorts Kräfte spürbar, die den allgemein als unbefriedigend empfundenen Zustand zum Besseren wenden wollen. Die Vielzahl der Vorschläge und Aktionen entspricht auch hier der Größe des Unbehagens.

In der Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (GAMM) arbeiten seit 60 Jahren viele Mathematiker und Ingenieurwissenschaftler zusammen; sie fühlt sich daher der Förderung der Ingenieur-Anwendungen der Mathematik besonders verpflichtet. Die GAMM hat auf ihrer Jahrestagung 1981 in Würzburg eine Podiumsdiskussion über die Mathematikausbildung der Ingenieure veranstaltet. Im Anschluß an diese Diskussion wurde im Auftrag der Deutschen Sektion der GAMM die vorliegende Denkschrift ausgearbeitet. Die Schrift bezieht sich daher in ihren konkreten Feststellungen und Empfehlungen auf die Verhältnisse in der Bundesrepublik Deutschland. In seiner Sitzung im April 1982 in Budapest haben Vorstand und Vorstandsrat der GAMM die Denkschrlft diskutiert und festgestellt, daß die in der Schrift geschilderte generelle Situation auch für viele andere Länder typisch ist. Der Gesamtvorstand der GAMM hat daher einstimmig beschlossen, sich den Inhalt der Denkschrift zu eigen zu machen und als Empfehlung der GAMM zu publizieren. Die GAMM möchte mit dieser deutlichen Empfehlung zur Versachlichung der Diskussion beitragen und Lösungsmöglichkeiten zeigen. Die Empfehlungen wenden sich an die Mathematiker der Technischen Universitäten und an die Ingenieure, besonders des Bauingenieurwesens, der Elektrotechnik, des Maschinenbaus und der Verfahrenstechnik.

2. DIE SCHULISCHE VORBILDUNG IN MATHEMATIK

Über die Mathematikausbildung der Ingenieurstudenten kann nicht gesprochen werden, ohne daß zunächst die Voraussetzungen betrachtet werden, mit denen der Student heute die Hochschule betritt. Hier haben sich im vergangenen Jahrzehnt der Bildungsreform spürbare Veränderungen vollzogen. Unter dem Eindruck einer verstärkt an ihren Grundlagen und Strukturzusammenhängen interessierten Hochschulmathematik wurden strukturelle Gesichtspunkte auch in der Schulmathematik immer mehr betont. Die Anwendungen der Mathematik, besonders in den Naturwissenschaften, wurden hierüber vernachlässigt; mit der Zersplitterung der Inhalte ging ein Verfall der Fertigkeiten einher. Diese weithin beklagte Entwicklung läßt sich auch mit dem allgemeinbildenden Charakter der reinen Mathematik kaum rechtfertigen, denn die Anwendungen der Mathematik sind nicht weniger allgemeinbildend.

Als Folge dieser Veränderungen beobachten die Hochschulen seit geraumer Zeit, daß die Zahl der ungenügend auf das Studium der Natur- und Ingenieurwissenschaften vorbereiteten Studenten stetig zunimmt. Insbesondere die selbstverständliche Handhabung mathematischer Gegenstände, z.B. in der Trigonometrie und Geometrie sowie in der Differential- und Integralrechnung, wird oft vermißt. Gerade diese Fertigkeiten bilden jedoch die tragfähige Grundlage, auf der ein Student den sprunghaft steigenden Anforderungen an seine Aufnahmefähigkeit im Studium gewachsen ist. Als Folge der Herauslösung der Mathematik aus ihren Verbindungen mit den klassischen Anwendungsgebieten kommt hinzu, daß der Student auf die mathematische Formulierung und die Lösung konkreter Probleme häufig gänzlich unvorbereitet ist. Abgesehen davon, daß damit ein wichtiger geistesgeschichtlicherAspekt der Mathematik dem Schüler vorenthalten wird, erschwert dieser Mangel auch die sachgerechte Entscheidung für den Beruf des Ingenieurs.

Zu diesen allgemein beobachtbaren Tatsachen treten vielfach fehlende Konzentrationsfähigkeit, zu geringes Lernvermögen und ungenügende Kraft zum Durchhalten von "Durststrecken" beim einzelnen Studenten hinzu. Diese Mängel sind gewiß nicht den Schulen oder gar dem Mathematikunterricht ursächlich anzulasten, jedoch könnte auch hier ein sachgerechter Unterricht zur Besserung der Lage und zur besseren Vorbereitung der Schüler für das Studium beitragen.

Die genannten Mängel in der Mathematikausbildung sind keineswegs nur eine Folge der reformierten Oberstufe. Diese fördert zwar die Trennung der Mathematik von ihren Anwendungen, jedoch wird das Defizit bei den Fertigkeiten schon früher gelegt. Insofern ist der Wunsch der GAMM, die Vorbildung künftiger Studenten der Ingenieurwissenschaften im Fach Mathematik zu verbessern, an die Schule als Ganzes gerichtet.

Obschon von einem anderen Standort ausgehend, ist die Deutsche Mathematiker-Vereinigung (DMV) im Jahre 1976 in einer vielbeachteten Denkschrift zu ähnlichen Schlußfolgerungen gelangt. Die GAMM macht sich diese Denkschrift daher ausdrücklich zu eigen und unterstützt die dort festgelegten Grundsätze und Forderungen. Die besonderen Bedürfnisse des angehenden Ingenieurs erfordern jedoch in gewissen Bereichen eine noch stärkere Akzentuierung:

• Die Trigonometrie mue in der Mittelstufe wieder einen wichtigeren Platz bekommen. Die Handhabung trigonometrischer Formeln und Gleichungen muß selbstverständlich sein. Es darf nicht vorkommen, daß selbst der Absolvent eines Leistungskurses in Mathematik die Additionstheoreme nur aus der Formelsammlung kennt.
• Die Geometrie muß auch wieder zur Schulung des Anschauungsvermögens, der geometrischen Intuition, dienen. Kegelschnitte und ihre wichtigsten Eigenschaften müssen bekannt sein.
• In der Analysis muß der Kalkül des Differenzierens und Integrierens beherrscht werden, und zwar letzterer bis zur partiellen Integration und der Substitutionsregel.
• Das Erstellen mathematischer Modelle für konkrete Probleme und deren methodische Behandlung muß durchgehend anhand eingekleideter Aufgaben geübt werden.
• Die Verwendung von Taschenrechnern sollte nicht suf die Ausführung elementarer arithmetischer Operationen beschränkt bleiben. Vielmehr müssen numerische Verfahren in allen dafür geeigneten Gebieten der Mathematik in der Oberstufe eingesetzt werden. Die Notwendigkeit von Fehlerabschätzungen muß einsichtig gemacht werden.
• Die Rolle der Mathematik für die Anwendungen muß durchgehend sichtbar werden. Dabei ist besonderer Wert auf die Beispiele aus Physik und Techniok zu legen, die die bedeutendsten Anwendungsbereiche der Mathematik erschließen.
• Vor der Wahl der Leistungskurse in der Oberstufe muß der Schüler dahingehend beraten werden, daß eine schwerpunktmäßige Beschäftigung mit der Mathematik für den Ingenieur in Studium und Beruf unabdingbar ist. Deshalb sollte Mathematik in der Oberstufe im Falle eines späteren Ingenieurstudiums unter keinen Umständen abgewählt werden.

3. UMFANG UND INHALT DER VERBINDLICHEN MATHEMATISCHEN FÄCHER IM INGENIEURSTUDIUM

Die Mathematik hat in der Ausbildung des Ingenieurs eine grundlegende Bedeutung. Allein schon die Erfordernisse der Berufspraxis begründen deutlich die Notwendigkeit einer guten und genügend breiten Ausbildung in diesem Fach. Allerdings darf in der Ingenieurausbildung die Mathematik nicht um ihrer selbst willen gelehrt werden; vielmehr muß im Mathematikunterricht gezeigt werden, wie Ingenieurprobleme durch Bildung mathematischer Modelle formuliert und gelöst werden können.

Die Mathematik war schon immer ein wichtiges Werkzeng des Ingenieurs. Jedoch hat sie durch verschiedene Entwicklungen der letzten Jahrzehnte noch an Bedeutung gewonnen. Hingewiesen sei besonders auf die Veränderungen industrieller Forschungs- und Entwicklungsmethoden durch den verstärkten Einsatz von Rechenanlagen. Schloß früher die Komplexität realistischer Probleme häufig die Anwendung mathematischer Algorithmen aus, so können heute dank der Entwicklung im Bereich der Computertechnik umfangreiche Systeme analysiert werden. Ja, die numerischen Methoden treten in Konkurrenz zu den experimentellen Verfahren, und viele Entwicklungen - etwa in der Luft- und Raumfahrt wären ohne mathermatische Hilfestellung nicht denkbar.

Natürlich ist die Notwendigkeit, mathematische Methoden in der beruflichen Praxis des Ingenieurs anwenden zu müssen, in verschiedenen Bereichen verschieden stark. Die hohen mathematischen Ansprüche, vor allem in Forschung und Entwicklung und auch in anderen Bereichen der Ingenieurpraxis, lassen es aber nicht zu, die Ausbildung in Mathematik an den am wenigsten mathematisierten Teilgebieten innerhalb der verschiedenen Ingenieurwissenschaften auszurichten. Die Hochschulen bilden Ingenieure für die Technik der Zukunft aus. Es muß angenommen werden, daß in einer solchen Technik der Zukunft der Bedarf an Mathematik weiter wachsen wird. Die Mathematikausbildung der zukünftigen Ingenieure muß daher eher erweitert als eingeschränkt werden. Der Vorwurf, in dieser Richtung zu viel getan zu haben, ist leichter zu ertragen als der Vorwurf, es zugelassen zu haben, daß künftige Ingenieure Gefahr laufen, in ihrem Arbeitsgebiet von der internationalen Entwicklung der Technik überholt zu werden. Die Aufgabe der Mathematik bei der Ausbildung des Ingenieurs ist dreifach:

• Sie muß die für das Fachstudium nötwendigen Kenntnisse vermitteln,
• sie muß die Grundlagen für ein individuelles und vertieftes mathematisches Weiterstudium legen, und
• sie muß dem künftigen Ingenieur eine Orientierung über die für die Praxis bedeutsamen mathematischen Hilfsmittel und über die verfügbaren Methoden geben.

In der Vergangenheit ist vielfach versucht worden, unter Beibehaltung der Stundenzahlen die gesamte Mathematikausbildung für Ingenieure in die Grundausbildung hineinzupressen. Aus vielerlei Gründen muß diese Tendenz als schädlich angesehen werden, unter anderem auch deswegen; weil die Bereitschaft für das Studium der Mathematik durch die Erfahrung ihrer Anwendbarkeit in anderen Fächern wächst und weil es eine gewisse Zeit erfordert, um mit den mathematischen Gegenständen vertraut zu werden. Aufgrund dieser allgemeinen Überlegungen empfiehlt die GAMM den folgenden Umfang der Mathematikausbildung für Ingenieure:

• Auf den Gesamtumfang des Studiums (Pflicht und Wahlpflicht) in den Studiengängen Bauingenieurwesen, Elektrotechnik, Maschinenbau und Verfahrenstechnik, der heute etwa 180 Semesterwochenstunden beträgt, sollten mindestens 25 Semesterwochenstunden in Mathematik entfallen.
• Die Mathematikausbildung im Grundstudium sollte Pflichtveranstaltungen im Umfang von mindestens 18 Semesterwochenstunden vorsehen und für alle Ingenieurstudiengänge mit gleichem Inhalt angeboten werden. Dabei sollte vom ersten bis zum dritten Semester jeweils eine vierstündige Vorlesung und eine zweistündige Übung abgehalten.werden. Die Prüfung erfolgt punktuell am Ende des dritten Semesters. Als Zulassungsvoraussetzung zur Prüfung könnten benotete Semesterklausuren vorgesehen werden.
• Die Mathematikausbildung im Hauptstudium sollte aus Pflicht- und Wahlpflichtveranstaltungen von mindestens 7 Semesterwochenstunden bestehen und sich an den Bedürfnissen des jeweiligen Ingenieurstudiums orientieren. Es sollten, auf zwei Semester verteilt, mindestens eine dreistündige Vorlesung und eine einstündige Übung sowie eine zweistündige Vorlesung und eine einstündige Übung vorgesehen werden. Die in diesen Lehrveranstaltungen erworbenen Kenntnisse werden im Rahmen des Diplom-Hauptexamens geprüft.

Gebiet	Bauingenieurwesen	Maschinenbau und Verfahrenstechnik	Elektrotechnik
Funktionentheorie	1	2	3
Partielle Differentialgleichungen	3	2	2
Integraltransformationen	1	1	3
Numerik	3	3	2
Stochastik	1	2	3
Optimierung	1	1	1

Für viele Bereiche, vor allem in der Forschung, werden die im oben skizzierten Pflicht- und Wahlpflichtprogramm vermittelten Kenntnisse noch nicht ausreichen. Daher sollten geeignete mathematische Lehrveranstaltungen angeboten werden, die von theoretisch interessierten Ingenieurstudenten über das Pflichtpensum hinaus besucht werden können.

4. DIE LEHRE IN DEN MATHEMATISCHEN FÄCHERN

Zur Frage nach Umfang und Inhalt der Mathematik tritt das Problem der Vermittlung gleichrangig.hinzu. Hiermit verknüpft ist auch die Frage, wie die für die Mathematikausbildung der Ingenieure verantwortlichen Lehreinheiten organisiert sein sollten.

Grundsätzlich ist es notwendig, den logischen Charakter der Mathematik auch in der Ingenieurausbildung den Studenten nahezubringen. Dementsprechend kann und darf die Mathematik nicht als eine Sammlung von Formeln ("Kochrezepten") vermittelt werden, sondern die Studenten müssen in vertretbarem Rahmen auch mit mathematischen Schlußweisen und mit instruktiven Beweisen vertraut gemacht werden. Allerdings reden wir hier nicht einer beweisvollständigen Höheren Mathematik das Wort, sondern einer sorgfältig erwogenen, sinnvollen und dem willigen Studenten einsichtigen, exemplarischen Darstellung. Eine strikte logische Entwicklung eines Themas nur als eine Reihe von Definitionen, Sätzen, Beweisen wäre dem Ingenieurstudenten unangemessen, der eher einer geometrisch-anschaulichen als einer logisch-abstrakten Denkweise zuneigt. Ihm leuchten Zusammenhänge und Methoden eher am Einzelfall denn am allgemeinen Fall ein; häufig wird die Aussage eines Satzes durch abgrenzende Beispiele besser beleuchtet als durch einen vollständigen Beweis. Es ist also eine Vermittlung der Mathematik erforderlich, bei der mit exemplarischen Beweisen der logische Aspekt mathematischer Analyse und Aussage gezeigt wird, bei der man sich aber auch nicht scheut, häufig mit heuristischen Überlegungen und Plausibilitätsargumenten zu arbeiten.

Von großer Bedeutung ist der konstruktive Aspekt, denn dieser steht später in der Ingenieurpraxis gewiß im Vordergrund. Methoden, die geelgnet sind, praktisch verwendbare quantitative Lösungen zu erzielen, sollten im Lehrmaterial daher ausreichend berücksichtigt werden. Damit kann auf eine Kombination von solidem technischen Wissen und Problemlösungsmethoden hingearbeitet werden. Sehr wichtig ist, daß die Beispiele aus möglichst vielen Bereichen der Technik kommen, so daß der Student die Flexibilität der Mathematik und ihrer Methoden erkennen kann.

Dem Lehrenden erwächst auch die Pflicht, seine Studenten, von praktischen Problemen ausgehend, von der Nützlichkeit und Notwendigkeit der Mathematik zu überzeugen. Hierzu eignen sich vorzüglich die Interpretation der mathematischen Ergebnisse in der Sprache der Anwendungen und die Lösung konkreter Probleme. Die Mathematikausbildung soll darüber hinaus die Fähigkeit vermitteln, solche konkreten Probleme aus der Sprache der Ingenieure in die Sprache der Mathematik zu übersetzen. Dabei ist der Eindruck zu vermeiden, in der Technik werde ein mathematisches Modell erstellt, das dann, losgelöst von seinem Ursprung, mathematisch behandelt wird oder welches gar nur als Rechtfertigung für die Beschäftigung mit Theorie auf hoher Abatraktionsetufe dient. Vielmehr muß an jeder Stelle klar bleiben, wofür die mathematischen Begriffe stehen. Nur dann ist dem Ingenieur der Zugang zum Auffinden von Lösungen erleichtert und auch die sinnvolle interpretation der Lösung möglich.

Von erheblicher Bedeutung ist das Einüben mathematischer Methoden und Techniken durch den Studenten. Dazu sollte der Student - möglichst durch kontrollierte "Hausaufgaben" - angehalten werden. Wichtig ist; daß der Lehrstoff klar gegliedert ist. Am besten wird dem Studenten gleich zu Beginn des Semesters eine Gliederung des im Semester zu lernenden Stoffes an die Hand gegeben und in jedem Vorlesungsblock kurz der Fortgang innerhalb der Gliederungspunkte aufgezeigt. Selbstverständlich ist eine gute inhaltliche Abstimmung von Vorlesung und Übung notwendig, wobei die Übung nicht zu einer Fortsetzung des Vorlesungsstoffes mißbraucht werden darf.

Zur Unterstützung des Selbststudiums sollte der Mathematikkurs möglichst von einem Lehrbuch ausgehen, das bei Bedarf durch ein Skript erganzt werden sollte.

Der Inhalt der Mathematikvorlesungen für Ingenieurstudenten sollte selbstverständlich mit den Vertretern der ingenieurwissenschaftlichen Fachbereiche abgesprochen sein. In der Grundausbildung ist insbesondere eine gute stoffliche und zeitliche Verzahnung mit der Mechanik anzustreben. Dabei muß zwischen den Extremen: - Mathematik im Vorlauf, um als Werkzeug für die Anwender bereitzustehen, und - Anwendung im Vorlauf, um die Notwendigkeit der Mathematik für den Ingenieur aufzuzeigen, ein Kompromiß geschlossen werden.

An dieser Stelle muß auch gesagt werden, daß eine oft spürbare negative Haltung der übrigen Lehrenden gegenüber der Mathematikausbildung für Ingenieure zu bedauern ist. Alle Lehrenden sollten vielmehr den Wert der Mathematik anerkennen und nicht müde werden, dem Studenten ihre Notwendigkeit im Ingenieurberuf aufzuzeigen.

In der letzten Zeit gibt es überall Tendenzen, eine sogenannte "Hausmathematik" in die Studiengänge einzuführen. Dieser Tendenz muß energisch entgegengewirkt werden, bedeutet sie doch zum einen eine weitere Zersplitterung der Wissenschaft und zum anderen - was noch viel gravierender für die Zukunft sein wird - ein Herausnehmen der Ingenieurmathematik aus dem lebendigen Strom der Mathematikforschung und damit ein Verharren und Verkrusten auf beiden Seiten.

Die Ingenieurmathematik sollte daher nach wie vor von in der Forschung und Lehre ausgewiesenen Mathematikern unterrichtet werden, die dem mathematischen Fachbereich angehören. Selbstverständlich werden nicht alle Mathematiker Interesse an dieser Aufgabe haben: es sollte jedoch möglich sein, genügend viele Hochschullehrer der Mathematik mit Interesse an ingenieurwissenschaftlichen Fragen und Anwendungen.zu finden und sie für die Ausbildung in Ingenieurmathematik zu gewinnen. Eine enge Zusammenarbeit zwischen den ingenieurwissenschaftlichen Fachbereichen und den mit der Lehre der Ingenieurmathematik Beauftragten, nicht zuletzt auch in der Forschung, ist dabei von großer Bedeutung für den Erfolg der Mathematikausbildung im Ingenieurstudium: Die Mathematiker sollten erkennen, wie wichtig diese Aufgaben sind, und zwar nicht nur für die Ingenieurwissenschaften, sondesn auch für die Mathematik selbst und für die Zukunft der mathematischen Fachbereiche an den Technischen Universitäten.

Stuttgart, den 25.6.1982
gez. Prof.Dr.K.Kirchgässner, Präsident der GAMM