d=1 mod 4

Zahlentheorie

Wie bereits Euklid vor mehr als 2000 Jahren erkannt hat, gibt es unendlich viele Primzahlen. Dies hat er bewiesen, indem er die Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen p₁,.....,p_n gibt, zum Widerspruch geführt hat: Es sei a=p₁·...·p_n ihr Produkt und p eine Primzahl, die a+1 teilt. Dann kann p keine der Primzahlen p₁,.....,p_n sein (da sonst auch (a+1)-a=1 durch p teilbar wäre). Also gibt es im Widerspruch zur Annahme mindestens n+1 Primzahlen.

Die Zahlentheorie beschäftigt sich mit den Eigenschaften von Zahlen. Im Ring Z der ganzen Zahlen ...,-3,-2,-1,0,1,2,3.... kann man addieren, subtrahieren und multiplizieren. Bildet man Quotienten von ganzen Zahlen (zum Beispiel ¾), so kommt man zum Körper Q der rationalen Zahlen. Dort kann man dann auch noch durch jede Zahl ungleich 0 dividieren. Aber man kann nicht unbedingt algebraische Gleichungen lösen. Zum Beispiel haben die Gleichungen x²-2=0 und x³-x-1=0 in Q keine Lösung. Man geht daher zu einem Erweiterungskörper von Q über, in dem dann eine bestimmte algebraische Gleichung der Form xⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀=0 eine Lösung hat und nennt einen solchen Körper einen Zahlkörper. In jedem Zahlkörper K gibt es einen Ganzheitsring, aus dem K durch Quotientenbildung entsteht.

Die elementare Zahlentheorie beschäftigt sich hauptsächlich mit den Eigenschaften ganzer Zahlen in Q und in quadratischen Zahlkörpern. Man studiert unter anderem Teilbarkeitseigenschaften und kann zum Beispiel mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen aus Z bestimmen. Es gilt in Z der sogenannte Fundamentalsatz der Arithmetik:

Jede ganze Zahl, die ungleich 0 und ±1 ist, läßt sich abgesehen von Vorzeichen und Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben.

Betrachtet man statt Zahlen Ideale im Ganzheitsring eines Zahlkörpers, so gilt dafür der Fundamentalsatz; er sagt dann aus, dass sich jedes Ideal bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primidealen schreiben läßt. In der algebraischen Zahlentheorie studiert man insbesondere dann auch das Zerlegungsverhalten von Primidealen bei Körpererweiterungen.

Analog wie man in der Analysis die reellen Zahlen mit Hilfe des Absolutbetrages als Vervollständigung von Q realisieren kann, so kann man mit Hilfe des p-Betrages zu jeder Primzahl p eine Vervollständigung von Q konstruieren. Dies sind die p-adischen Körper, die man auch lokale Körper nennt. Die Arithmetik in diesen Körpern und ihren Erweiterungskörpern ist wesenlich einfacher als in Zahlkörpern. Häufig gelingt es in der Zahlentheorie, einen Satz für alle lokalen Körper beweisen und dann daraus zu schließen, dass er auch global gilt. Man spricht dann von einem Hasse-Prinzip.

Neben den algebraischen Zahlen gibt es auch transzendente Zahlen, die sich nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung realisieren lassen wie zum Beispiel die Eulersche Zahl e oder die Kreiszahl pi. Die Untersuchung transzendenter Zahlen gehört in die analytische Zahlentheorie.

Schließlich betrachtet man in der Zahlentheorie auch noch Diophantische Gleichungen, benannt nach dem griechischen Mathematiker Diophantos (um 250). Diophantische Gleichungen sind Gleichungen mit Koeffizienten aus Z, zu denen man Lösungen in Z sucht. Zum Beispiel hat die Gleichung x²+y²=z² die ganzzahlige Lösung x=3, y=4, z=5. Da diese Gleichung eine geometrische Interpretation durch den Satz von Pythargoras (ca 580-500 v.Chr.) hat, nennt man ein Zahlentripel (a,b,c) mit der Eigenschaft a²+b²=c² ein pythargoräisches Tripel. Zum Beispiel sind auch (5,12,13), (7,24,25) und (8,15,17) pythargoräische Tripel. Der berühmte Satz von Fermat besagt, dass die diophantische Gleichung xⁿ+yⁿ=zⁿ (abgesehen von trivialen Lösungen mit x=0 oder y=0) ab n=3 in Z nicht lösbar ist. Dieser Satz wurde erst 1995 von Andrew Wiles mit Methoden der algebraischen Geometrie bewiesen.

Eine Vorlesung über elementare Zahlentheorie kann man ab dem 3.Semester eines Mathematikstudiums besuchen. Um algebraische Zahlentheorie verstehen zu können, benötigt man auch Kenntnisse aus der Algebra und für das Verständnis der analytischen Zahlentheorie zusätzlich auch aus der Funktionentheorie. Mit genügend Kenntnissen in der algebraischen Geometrie kann man sich dann noch in die arithmetische Geometrie einarbeiten.