Topologie

Ein topologischer Raum ist eine Menge T zusammen mit einem System von Teilmengen, die als offen bezeichnet werden, mit folgenden Eigenschaften:

1. Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
2. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
3. Die leere Menge und T sind offen.

Im euklidischen 3-dimensionalen Raum R³ ist zum Beispiel eine offene Kugel mit Mittelpunkt P und Radius r gegeben als die Menge aller Punkte, deren Abstand von P echt kleiner als r ist. Erklärt man nun eine Teilmenge U von R³ als offen, wenn jeder Punkt aus U Mittelpunkt einer in U liegenden offenen Kugel ist, so wird R³ dadurch zu einem topologischen Raum.

Das Komplement einer offenen Menge bezeichnet man als abgeschlossen, und man kann einen topologischen Raum T auch durch abgeschlossene Mengen charakterisieren:

1. Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
2. Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
3. Die leere Menge und T sind abgeschlossen.

Eklärt man z.B. eine Teilmenge des affinen n-Raumes Cⁿ über den komplexen Zahlen als abgeschlossen, wenn sie die Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen in n Variablen ist, so erhält man dadurch eine Topologie auf Cⁿ, die sogenannte Zariski-Topologie, die in der algebraischen Geometrie eine wichtige Rolle spielt.

Der Begriff des topologischen Raumes ist so allgemein gefaßt, dass er zu vielen verschiedenen mathematischen Objekten und Situationen paßt. Nicht nur auf Zahlenräumen sondern z.B. auch auf Mengen, die aus Funktionen bestehen, kann man Topologien erklären. Dennoch sind die Begriffe der Analysis wie Konvergenz und Stetigkeit allgemein für beliebige topologische Räume definiert; so ist z.B. eine Abbildung eines topologischen Raumes in einen anderen stetig, wenn das Urbild einer jeden offenen Menge wieder offen ist.

Topologische Begriffe ziehen sich durch das ganze Mathematikstudium, und einige topologische Grundbegriffe wie Umgebung oder kompakter Raum werden bereits in den Anfängervorlesungen vermittelt. Eine Vorlesung über Mengentheoretische Topologie kann man ab dem dritten Semester hören. Weiterführende Vorlesungen sind z.B. topologische Gruppen, algebraische Topologie, insbesondere Homotopie- und Homologietheorie, sowie Differentialtopologie, für die Differenzierare Mannigfaltigkeit der Grundbegriff ist.